Paso 10: Funciones trigonométricas combinaciones π aproximado (parte 1)
En nuestro último paso hemos aprendido cómo utilizar arctan(1) = π/4, pero encontramos que el algoritmo era demasiado lento.
Resulta que usando algunos trucos trigonométricas podemos adaptar el algoritmo anterior para que sea mucho más rápido.
Este paso y el siguiente paso entran en detalles matemáticos. Puede omitir estos dos pasos si desea ir directamente al nuevo algoritmo.
En trigonometría se sabe que:
tan (x + y) = (tan (x) + tan(y)) / (1 - (tan(x)*tan(y))
Si sustituimos x e y con arctan(x) y arctan(y), obtenemos:
tan(arctan(x) + arctan(y)) = (x + y) / (1 - x * y)
(Nota que arctan(tan(x)) es igual a x). Finalmente si aplicamos arctan a ambos lados obtenemos:
arctan(x) + arctan(y) = arctan ((x + y) / (1 - x * y))
Esto nos da un método para añadir dos arctans. Podemos encontrar valores de x e y tales que
arctan(x) + arctan(y) = arctan(1) = π/4.
Para hacer esto que debemos tener:
(x + y) / (1 - x * y) = 1
que simplifica a:
y = (1 - x)/(1+x)
Así, arctan(x) + arctan(y) = arctan(x) + arctan ((1 - x)/(1+x))
Que nos da:
Π/4 = arctan(x) + arctan ((1 - x)/(1+x))
