Paso 7: El color en el "relleno" y conocer el grupo de simetría
Este colorante es muy especial porque muestra el grupo de simetría de la forma. Una simetría de una figura es un par de posiciones distintas que tienen el mismo aspecto. Probablemente has escuchado de la simetría del espejo, ya que su cara tiene simetría izquierda-derecha espejo, pero es exactamente el tipo no pensamos aquí. Estamos hablando de simetría rotacional 3D. Por ejemplo un lápiz tiene simetría rotacional cíclica de 6 vías. Hay seis posiciones del lápiz que tienen el mismo aspecto porque son rotaciones de cada uno (suponiendo que el lápiz no tiene marcas). Cada forma tiene exactamente un grupo de simetría.
El grupo de simetría de una forma es las rotaciones 3D sets que toman la forma de una determinada posición, a todos aquellos que son simétricos a él. Un lápiz es una rotación alrededor de la longitud del lápiz a través de 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 y 6/6 de una rotación completa. Llamamos a esto el Grupo cíclico de 6 elementos.
Para la bola del atar Zip es más complicado, así que nos resumen la información esencial para describir el grupo de la simetría en términos de cinco colores que llamo 1,2,3,4 y 5. Si tomamos los colores 12345 aquellas que son las agujas del reloj alrededor de uno de los círculos, a partir de la posición de mediodía (de donde nos estamos viendo la forma), podemos girar la Zip empate pelota en sentido horario alrededor de ese círculo para mostrar 51234. Y entonces otra vez para conseguir 45123 y otra vez 34512, 23451 otra vez y otra vez 12345. Ya hemos descubierto un subgrupo, y es el Grupo cíclico de 5 elementos!
Hay otras simetrías que los círculos a los círculos, y son todos una clase especial de permutación de la original 12345, llamada una permutación uniforme. Es bueno que los colores están contados, porque una permutación uniforme de 12345, es uno que tiene un número par de dígitos que están fuera de orden; es decir, el más grande es el de la izquierda. Por ejemplo 51342 tiene 6 pares de dígitos fuera de orden (51,53,54,52,32,42), por lo que es una permutación uniforme. Las permutaciones incluso de 12345 hacen exactamente la mitad de todas las permutaciones posibles, que suman 120. Por lo tanto, nuestra bola de empate Zip tiene simetrías exactamente 60!
Aquí es una buena introducción a los grupos alternos para estudiantes de matemáticas.
Volvamos a donde nos gira alrededor de un círculo. Después de 5 pasos, regresamos al punto de partida en 12345. Puesto que estas rotaciones circulares de 1/5 que hicimos nos trajeron de vuelta a la salida después de ser aplicado 5 veces, llamamos a esto un elemento (rotación 3D) de orden 5. Podemos hacer 1/3 circular rotaciones alrededor de un triángulo para obtener un elemento de orden 3 y 1/2 rotaciones circulares alrededor de un diamante son de orden 2. Estas rotaciones circulares pueden combinarse.
Así que ¿qué hace una rotación en sentido horario 1/3 a 12345? Ahora necesitamos utilizar la bola del atar Zip. Primero decida qué colores será 12345. He elegido rojo, azul, púrpura, amarillo, verde en la foto. Si gira 1/3 de las agujas del reloj alrededor del triángulo directamente debajo de él, los colores 12345 se sustituyen por púrpura, azul, amarillo, rojo, verde o 32415. Los colores no tocando el triángulo (2 y 5) no han cambiado de posición.
Ahora echa las 1/2 rotaciones alrededor de diamantes usted mismo! ¿Puede obtener rotaciones 3D de cualquier otro orden combinando diferentes rotaciones (circulares) cíclicas?
Otro ejercicio: Qué pasa con los colores en otros círculos al girar alrededor de un círculo. Por ejemplo, si el gira alrededor del círculo 12345, a través de a 51234, ¿qué pasó con los colores en el círculo 32415?
¿No satisfecho? No te olvides que rebota!
Acojo con satisfacción cualquier correcciones y aclaraciones en los comentarios. Soy estudiante de doctorado en matemáticas, pero mi conocimiento de grupos de la simetría es puramente recreativo.
